2019-2020学年高中一年级数学常识讲学（必学5）
专题09不等关系与不等式
【常识导图】
【目的导航】
1.会用不等式表示实质问题中的不等关系；
2．学会不等式的有关性质；
3．能借助不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式证明.
【重难题精讲】
重点1、实数的大小
数轴上的任意两点中，右侧点对应的实数比左侧点对应的实数大.
对于任意两个实数a和b，假如a－b是正数，那样a>b；假如a－b是负数，那样a<b；假如a－b等于零，那样a＝b.
重点2、不等关系与不等式
大家用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式.
重点3、不等式的性质
性质1：假如a>b，那样b<a；
假如b<a，那样a>b.
即a>b⇔b<a.
性质2：假如a>b，b>c，那样a>c.
即a>b，b>c⇒a>c.
性质3：假如a>b，那样a＋c>b＋c.
性质4：①假如a>b，c>0那样ac>bc.
②假如a>b，c<0，那么ac<bc.
性质5：假如a>b，c>d，那样a＋c>b＋d.
性质6：假如a>b>0，c>d>0，那样ac>bd.
性质7：假如a>b>0，那样an>bn，．
性质8：假如a>b>0，那样a>b，．
【典题精练】
考试知识点1、用不等式表示不等关系
例1．盐水溶液的浓度公式为
，向盐水中再加入
克盐，那样盐水将变得更咸，下面哪一个式子可以说明这一事实（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
向盐水溶液中加入克盐，盐水的浓度变为
，此时浓度变大，盐水更咸，即
，
故选：A.
考试知识点点睛：用不等式表示实质问题中不等关系的步骤：
①审题．通读题目，分了解已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键字：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超越”“低于”等．
②列不等式组：剖析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示．
考试知识点2、比较数或式子的大小
例2．设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga|与|loga|的大小．
【答案】|loga|＞|loga|
【分析】
解法1、作差法
|loga|－|loga|=|
|－|
|=
|－|lg|)
∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＜1＋x
∴上式=－[＋lg]=－·lg
由0＜x＜1，得，lg＜0，∴－·lg＞0，
∴|loga|＞|loga|
解法2、作商法
=|log|
∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＋x，∴|log|=－log=log
由0＜x＜1，∴1＋x＞1，0＜1－x2＜1
∴0＜＜1，∴＞1－x＞0
∴0＜log＜log=1
∴|loga|＞|loga|
解法3、平方后比较大小
∵loga2－loga2=[loga＋loga][loga－loga]
=loga·loga
=
·lg·lg
∵0＜x＜1，∴0＜1－x2＜1，0＜＜1
∴lg＜0，lg＜0
∴loga2＞loga2，即|loga|＞|loga|
解法4、分类讨论去掉绝对值
当a＞1时，|loga|－|loga|=－loga－loga=－loga
∵0＜1－x＜1＜1＋x，∴0＜1－x2＜1
∴loga＜0，∴－loga＞0
当0＜a＜1时，由0＜x＜1，则有loga＞0，loga＜0
∴|loga|－|loga|=|loga＋loga|=loga＞0
∴当a＞0且a≠1时，总有|loga|＞|loga|
考试知识点点睛：比较两个实数大小的步骤
作差：对要比较大小的两个数作差；
变形：对差进行变形；
判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；
作出结论．
这种比较大小的办法一般称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的首要条件．
考试知识点3、不等式性质的应用
例3．若
，则下列命题正确的是
A．
和
均不成立 B．
和均不成立
C．和
均不成立 D．和
均不成立
【答案】B
【分析】
由于，所以
，，所以
，A不正确；
由于，所以，所以
，又
，，所以
，B正确；
由于，
，
，所以，所以,C不正确；
由于与的大小关系不确定，故
与
的大小关系不确定，D不正确．
综上，可知B选项正确，故选B．
考试知识点点睛：不等式性质的应用主要有：判断不等式的真伪，证明不等式，求参数的取值范围等．
1．判断不等式的真伪．
第一应该注意不等式成立的条件，不要弱化条件．
解决有关不等式选择题时，也可使用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，仅需举一反例．
2．证明不等式
要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
应用不等式的性质进行推证时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不可以随便架构性质与法则．
3．求取值范围
打造待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，借助不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，假如在解题过程中多次用这种转化，就大概扩大其取值范围．
4．学会各性质的条件和结论．在各性质中，乘法性质的应用最容易出错，即在不等式的两边同时乘以一个数时，需要能确定该数是正数、负数或零，不然结论不确定．
考试知识点4、不等式的证明
例4．已知下列三个不等式：
①
；
②
；
③
，
以其中两个作为条件，剩下一个作为结论，则可组成几个正确命题？
【答案】可组成3个正确命题．
【分析】
（1）对②变形得，
由
得②成立，即①③
②．
（2）若
，则，即①②③．
（3）若
，则，即②③①．
综上所述，可组成3个正确命题．
考试知识点点睛：证明不等式的常用办法有：
作差法．
作商法．比较a与b的大小时，先判断a与b的符号，借助a>b>0⇒b>1,0>a>b⇒b<1.
依据待求不等式的形式，多项式形式适用于作差法，比值形式、指数形式适用于作商法．
考试知识点5、借助不等式的性质求取值范围
例5．【安徽六安第一中学2017-2018学年高中一年级下学期期末】已知
，满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
设α+3β=λ（α+β）+v（α+2β）
=（λ+v）α+（λ+2v）β．
比较α、β的系数，得
，
从而解出λ=﹣1，v=2．
分别由①、②得﹣1≤﹣α﹣β≤1，2≤2α+4β≤6，
两式相加，得1≤α+3β≤7．
故α+3β的取值范围是[1，7]．
故选：A
考试知识点点睛：求取值范围的问题应该注意解题办法是不是符合不等式的性质，是不是使范围扩大或缩小．
考试知识点6、不等式的实质应用
例6．某人携带500元去买单价分别为60元、70元的计算机软件和盒装磁带，依据需要，软件至少买3份，磁带至少买2盒，则不一样的选择和购买方法共有（ ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
【答案】C
【分析】
设买软件的数目为，买磁带的数目为
则，
所以有
，得到
，即
所以可取的值为
，
当
时，得
，所以可取，
当
时，得
，所以可取，
当时，得
，所以可取，
当时，得，所以可取，
故符合需要的状况共有7种，故选
项.
考试知识点点睛：“最佳策略”问题，第一要设出未知量，搞了解比较的对象，然后把这个未知量用其他的已知量表示出来，通过比较即可得出结论．
